यदि S_n = frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} है,तो sum_ | vedclass

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Question

(C) हम जानते हैं कि $n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।दिया गया है $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$।$t_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} - \frac{(n

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$2$

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(C) हम जानते हैं कि $n$-वाँ पद $t_n = S_n - S_{n-1}$ होता है।दिया गया है $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$।$t_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6} - \frac{(n - 1)n(n + 1)}{6}$।$\frac{n(n + 1)}{6}$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें प्राप्त होता है $t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [n + 2 - (n - 1)]$।$t_n = \frac{n(n + 1)}{6} [3] = \frac{n(n + 1)}{2}$।अब,हमें $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = \sum_{n = 1}^\infty \frac{2}{n(n + 1)}$ ज्ञात करना है।आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{2}{n(n + 1)} = 2 \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} \right)$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $2 \left[ (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) + \dots \right]$।योग $2(1) = 2$ के बराबर है।

यदि $S_n = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{6}$ है,तो $\sum_{n = 1}^\infty \frac{1}{t_n} = $

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